|
|
|
@ -0,0 +1,463 @@ |
|
|
|
\documentclass[a4paper, 10pt]{article} |
|
|
|
\usepackage[top=2cm, bottom=2cm, left=1.5cm, right=1.5cm]{geometry} |
|
|
|
\usepackage[utf8]{inputenc} |
|
|
|
%\usepackage[english]{babel} |
|
|
|
\usepackage[german]{babel} |
|
|
|
|
|
|
|
\usepackage{amsmath} |
|
|
|
\usepackage{amsfonts} |
|
|
|
\usepackage{amsthm} |
|
|
|
|
|
|
|
\usepackage[hidelinks]{hyperref} |
|
|
|
\usepackage{graphicx} |
|
|
|
\usepackage{caption} |
|
|
|
\usepackage{lmodern} |
|
|
|
\usepackage{tikz} |
|
|
|
\usepackage{multicol} |
|
|
|
\usepackage{lipsum} |
|
|
|
|
|
|
|
\usepackage{listings} |
|
|
|
\usepackage{listings-golang} |
|
|
|
|
|
|
|
\lstset{ |
|
|
|
frame=single, |
|
|
|
language=golang, |
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
|
\linespread{1} |
|
|
|
|
|
|
|
\newcommand{\rarrow}{\( \rightarrow \)} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{document} |
|
|
|
|
|
|
|
\title{\huge Galaxy Simulation\\ \large Jugend Forscht 2018/2019} |
|
|
|
\date{2018 - 2019} |
|
|
|
\author{Emile Hansmaennel}%\\ Theodor-Fliedner-Gymnasium, Heinrich Heine |
|
|
|
%Universität Düsseldorf} |
|
|
|
|
|
|
|
\maketitle |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{multicols*}{2}[ |
|
|
|
\abstract{ |
|
|
|
\parbox{0.85\textwidth}{ |
|
|
|
\centering |
|
|
|
\parbox{0.6\textwidth}{ |
|
|
|
\centering |
|
|
|
\bigskip |
|
|
|
Ist es möglich die Entstehung von Galaxien zu simulieren? Um |
|
|
|
diese Frage zu beantworten bin ich zu dem Schluss gekommen, dass ich das doch |
|
|
|
einfach mal ausprobieren sollte. Dazu habe ich das Navarro-Frenk-White Profil |
|
|
|
implementiert um anschließen die Kräfte die Zwischen den Sternen wirken zu |
|
|
|
berechnen. Dabei stattete ich die Sterne mit einer zufälligen Masse aus und |
|
|
|
Unterteilte die Galaxie in dynamisch-große Zellen um die Simulation stark zu |
|
|
|
beschleunigen. Um eine Stabile Galaxie zu simulieren müssen jedoch alle Sterne |
|
|
|
in der Galaxie eine Anfangsgeschwindigkeit besitzen die sie auf eine Kreisbahn |
|
|
|
lenkt, damit die Kraft, welche die Sterne in die Mitte der Galaxie zieht |
|
|
|
ausgeglichen werden. |
|
|
|
\bigskip |
|
|
|
} |
|
|
|
} |
|
|
|
} |
|
|
|
] |
|
|
|
|
|
|
|
\renewcommand{\contentsname}{Inhaltsverzeichnis} \tableofcontents[Inhalt] |
|
|
|
|
|
|
|
\section{Einleitung} |
|
|
|
Das Projekt ist nach meinem vorletzten Jugend-Forscht Projekt entstanden: Ich |
|
|
|
habe ein Praktikum in Astronomischen Recheninstitut in Heidelberg genutzt, um |
|
|
|
mit einem Doktoranden\footnote{Tim Tugendhat} das Navarro-Frenk-White Profil, |
|
|
|
das zum generien von Punktwolken genutzt wird, zu visualizieren. Anschließend |
|
|
|
hat sich das Projekt ein bisschen verlaufen, irgendwann beschloss ich jedoch, |
|
|
|
dass das Projekt weiterzuführen und statt nur statische Galaxien zu generieren |
|
|
|
dazu überzugehen die Galaxien zu simulieren, also die Entwicklung einer |
|
|
|
virtuellen Galaxie zu untersuchen. Eines der Entscheidenden Probleme war die |
|
|
|
Laufzeit der Simulation. Das Problem das es zu lösen galt, war die nutzung von |
|
|
|
mehreren Threads mit der nutzung des Barnes-Hut Algorithmus zu kombinieren. |
|
|
|
Das Ergebniss ist sehr schön: Durch die nutzung der Programmiersprache Golang |
|
|
|
war das einbauen der nutzung von mehreren Threads vergleichsweise einfach. |
|
|
|
|
|
|
|
\section{Vorgehensweise} |
|
|
|
|
|
|
|
Wie schon in der Einleitung beschrieben habe ich mehrere Techniken kombiniert |
|
|
|
um mein Ziel zu erreichen. Das komplette Projekt lässt sich in mehrere |
|
|
|
Abschnitte unterteilen: Die Generierung der Punktwolke, aus der eine Galaxie |
|
|
|
abstrahiert wird. Die Simulation der Galaxie bei der die Kräfte die in der |
|
|
|
Galaxie wirken berechnet werden und daraus die Geschwindigkeit und Richtung in |
|
|
|
die der Stern fliegt. |
|
|
|
|
|
|
|
\section{Generieren} |
|
|
|
|
|
|
|
Das Generieren der Statischen Punktwolke aus der die Galaxie abstrahiert wird |
|
|
|
ist ein wichtiger Bestandteil des Gesamtprojektes, denn alles baut auf ihr auf. |
|
|
|
Kurz: um Kräfte zwischen Sternen zu berechnen braucht man erstmal Sterne! |
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Das Navarro-Frenk-White Profil} |
|
|
|
Das Navarro-Frenk-White Profil (NFW-profil) ist ein Profil zur Generierung von |
|
|
|
Koordinaten in n-Dimensionalen Systemen. Das Profil gibt einem die |
|
|
|
Warscheinlichkeit \( \rho \) zurück, dass ein Punkt im Abstand \( r \) zum |
|
|
|
Mittelpunkt des raumes existiert. Die dazugehörige Funktion sieht wiefolgt |
|
|
|
aus: |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{equation} \label{eq:NFW_profile} |
|
|
|
\rho_{NFW}(r) = \frac{ 1 }{ \sqrt{ 2 \pi } \cdot \sigma } \cdot |
|
|
|
\exp \left( \frac{ -\phi(r) }{ \sigma^{ 2 } } \right) |
|
|
|
\end{equation} |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{equation*} |
|
|
|
\phi(r) = \frac{ 4\pi \cdot G \cdot f_{0} \cdot R_{s}^3 }{ r } \cdot |
|
|
|
ln{ \left( 1 + \frac{ r }{ R_{s} } \right) } |
|
|
|
\end{equation*} |
|
|
|
|
|
|
|
Möchte man nun herausfinden wie weit ein Punkt mit der Koordinate \( (x_1, x_2, |
|
|
|
... , x_n) \) mit \( x \in \mathbb{N} \) vom Mittelpunkt des Raumes entfernt |
|
|
|
ist, kann der Satz des Pythagoras (\ref{eq:pythagoras}) verwendet werden. |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{equation} \label{eq:pythagoras} |
|
|
|
r_n = \sqrt{\sum_{i=0}^{n} x_i^2} \qquad n \in \mathbb{N} |
|
|
|
\end{equation} |
|
|
|
|
|
|
|
Der Abstand \( r \) zum Mittelpunkt des Raumes kann nun in das NFW-Profil |
|
|
|
\ref{eq:NFW_profile} gegeben werden wodurch ein Wert \( s \) entstehet: |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{equation} |
|
|
|
\rho_{NFW}(r) = \dots = s |
|
|
|
\end{equation} |
|
|
|
|
|
|
|
Dieser Wert \( s \) stellt die Warscheinlichkeit dar, das ein Stern der |
|
|
|
eine Entfernung \( r \) vom Mittelpunkt der Galaxie besitzt existiert. |
|
|
|
|
|
|
|
Die Galaxie Wirkt nun aus der Ferne wie ein Würfel, da die aus \( \rho \) |
|
|
|
retultierende Kurve aprubt endet. Dies kann gelöst werden, indem statt \( |
|
|
|
\rho_{NFW}(r) \) folgendes gerechnet wird: \( \rho_{NFW}(r) - |
|
|
|
\rho_{NFW}(r_{max}) \) |
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Random Sampling} |
|
|
|
Sei \( s \) ein zufälliger Wert im Intervall \( \psi = [ \rho(r_{min}); \rho(r_{max}) ] |
|
|
|
\). Generiert man nun einen zufälligen Wert \( r \) im Intervall \( \psi \), |
|
|
|
kann man schauen ob \( s > r \lor s < r \) gilt. Ist \( r > s \), wird der Stern verworfen, |
|
|
|
ist \( r < s \) wird der Stern behalten. |
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Lookup Tabellen} |
|
|
|
Statt bei der generierung eines Punktes jedes mal das NFW-Profil |
|
|
|
(\ref{eq:NFW_profile}) anzuwenden, kann das NFW-Profil für einen Bereich |
|
|
|
vorberechnet werden und in einer Tabelle abgespeichert werden. Somit kann wenn |
|
|
|
eine Entfernung \( r \) zum Mittelpunkt des Raumes vorliegt der entsprechende |
|
|
|
Wert aus der Tabelle ausgelesen werden. Die Tabelle kann jedoch nicht so |
|
|
|
genaue Ergebnisse liefern wie das NFW-Profil, sie kann jedoch so angepasst |
|
|
|
werden, dass sie in den Arbeisspeicher passt und somit das Generieren stark |
|
|
|
verschnellert. Mit genügend Arbeitsspeicher ist der Fehler auch |
|
|
|
vernachlässigbar. |
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Beschleunigung der Generierung} |
|
|
|
Es existieren mehere Möglichkeiten das Generierung der Punkte zu verschnellern. |
|
|
|
|
|
|
|
Eine gute Möglichkeit ist die Nutzung von mehr Rechenleistung. Bei der Nutzung |
|
|
|
von \( n \) Rechenkernen ist das Generieren von Sternen \( n \) mal schneller. |
|
|
|
Die Server des Server-Hosters Hetzner können dabei gut verwendet werden: |
|
|
|
Es wird stündlich aberechnet und 32 Kerne mit 128 GB RAM kosten \( \approx \) |
|
|
|
50ct / h was es ermöglicht für einen vergleichsweisen Günstigen Preis, sehr |
|
|
|
viele Koordinates zu generieren. |
|
|
|
|
|
|
|
Die Ausgabe von jeder Potentiellen Koordinate in die Kommandozeile verlangsamt |
|
|
|
die Generierung unglaublich stark, da der Rechner darauf wartet das die Ausgabe |
|
|
|
fertig ist bevor er mit der nächsten rechnung beginnt was zu einer relativ |
|
|
|
starken verlangsamung der Generierung führt. |
|
|
|
|
|
|
|
\section{Simulieren} |
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Die Entstehung von Galaxien} |
|
|
|
``Eine Galaxie ist eine durch gravitation gebundene große Ansammlung von |
|
|
|
Sternen, Planetensystemen, Gasnebeln und sonstigen Stellaren Objekten.`` |
|
|
|
\footnote{ https://de.wikipedia.org/wiki/Galaxie} |
|
|
|
|
|
|
|
Demnach ist es relativ Einfach eine Galaxie zu generieren: es werden einfach |
|
|
|
ganz viele Objekte in einen Raum geworfen. Das reicht jedoch nicht um die |
|
|
|
Objekte als Galaxie definieren zu können, da sie nicht ``durch Gravitation |
|
|
|
gebunden`` sind. |
|
|
|
|
|
|
|
Um dies zu tun muss die Kraft zwischen allen Objekten in der Galaxie berechnet |
|
|
|
werden und damit die Position des Objektes nach einer bestimmten Zeit bestimmt |
|
|
|
werden. |
|
|
|
|
|
|
|
Dies reicht jedoch auch nicht um eine ``stabile`` Galaxie zu generieren: |
|
|
|
berechnet man nur die Kräfte die auf ruhende Objete in einem Reibungfreiem Raum |
|
|
|
wirken, würden alle Objekte zum Massemittelpunkt gezugen werden und die Galaxie |
|
|
|
würde somit implodieren. Es ist also nötig auf die Sterne in der Galaxie |
|
|
|
anfangskräfte auszuwirken. Diese Kräfte sind durch die Rotation der Galaxie um |
|
|
|
den Massemittelpunkt der Galaxie definiert, man rotiert also die Galaxie und |
|
|
|
gleicht dadurch die Kraft die Alle Sterne richtung Massemittelpunkt zieht aus. |
|
|
|
Rotiert man die Galaxie jedoch zu schnell, explodiert sie Förmlich, da die |
|
|
|
Sterne nicht mehr zusammengehalten werden und die Fliehkraft sie einfach |
|
|
|
auseinanderzieht. |
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Berechnung der Beschleunigungen} |
|
|
|
Um die Beschleunigung die auf einen Stern wirk zu berechnen wird folgendes |
|
|
|
berechnet: |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{equation} \label{eq:beschleunigung} |
|
|
|
a = G \cdot \frac{\Delta{M_2}}{\Delta{r}^2} |
|
|
|
\end{equation} |
|
|
|
|
|
|
|
\( G \) steht hier fúr die Universellt Gravitaionskraft, \( \Delta M \) für die |
|
|
|
Masse des Objektes das Umkresit wird und \( \Delta r \) für die Entfernung zum |
|
|
|
Mittelpunkt des Objektes das umkreist wird. |
|
|
|
Problem ist, dass kein Objekt umkreist wird sondern eine große Anzahl an Sternen. |
|
|
|
Es ist also nich möglich mithilfe von herkömmlichen Methoden die Beschleunigung |
|
|
|
die auf einen Stern wirkt zu berechnen. |
|
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Die Kraft als Vektor} |
|
|
|
Um die Kraft als Vektor darkzustellen, muss die Formel \ref{eq:beschleunigung} |
|
|
|
mithilfe von Vektoren neu aufgestellt werden: |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{equation} \vec{F}_{12} = \underbrace{-G \frac{m_1 m_2}{|r_{12}|^2}}_{Scalar} |
|
|
|
\cdot \underbrace{\frac{r_2 - r_1}{|r_2 - r_1|}}_{Vector} \end{equation} |
|
|
|
|
|
|
|
Die Summe der Kräfte die auf einen Stern wirken ist somit die Summe aller |
|
|
|
Kräfte die zwischen dem jeweiligen Stern \( a \) und allen anderen Sternen |
|
|
|
wirken: |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{equation} F_{a} = \sum_{i=0}^{n-1} F_{ai} \end{equation} |
|
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Probleme} |
|
|
|
Ein Problem das auftritt wenn die Kräfte zwischen allen Sternen berechnet |
|
|
|
werden ist, dass der Rechenaufwand \( O(n \cdot n-1) \approx O(n^2) \) beträgt. |
|
|
|
Problematisch wird es, wenn der mittlere Fehler, der bei der Berechnung der |
|
|
|
Kraft entsteht, größer als die Kraft wird. Das passier bei Sternen die sehr |
|
|
|
weit von einander entfernt liegen. Statt weiterzurechnen kann man die Sterne |
|
|
|
dann einfach weglassen, da die Daten unzuverlässig sin. |
|
|
|
|
|
|
|
Die Lösung des Problems ist die verwendung des Barnes-Hut Algorithmuses, der |
|
|
|
duch die Unterteilung der Galaxie in verschiden große Zellen die |
|
|
|
Rechenkomplexität von \( O(n^2) \) auf \( O(n \log(n) \) runterbricht: |
|
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Berechnung der Umlaufgeschwindigkeit} |
|
|
|
Die Umlaufgeschwindigket kann berechnet werden, indem die Kraft die die Sterne |
|
|
|
in die Mitte der Galaxie zieht \( \left( F = G \cdot \frac{m \cdot M}{r^2} |
|
|
|
\right) \) mit der Zentripetalkraft \( \left( F_z = \frac{m \cdot v^2}{r} |
|
|
|
\right)\) gleichgesetzt wird: |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{equation} |
|
|
|
v = \sqrt{\frac{G \cdot M_E}{r}} |
|
|
|
\end{equation} |
|
|
|
|
|
|
|
\( M_E \) steht dabei für die Masse der Erde, \( G \) für die |
|
|
|
Gravitaitonskonstante und \( r \) für den Bahnradius. Da wir jedoch nicht in |
|
|
|
der Erdumlaufbahn, sondern in einer Galaxienumlaufbahn hantieren, können wir |
|
|
|
nicht die Masse der Erde nutzen. Wir müssen daher eine andere Möglichkeit |
|
|
|
nutzen, die größe der Masse, die den Stern in Richtung Massemittelpunkt zieht zu |
|
|
|
berechnen. |
|
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Ellipsen und die Geschwindigkeit der Sterne} |
|
|
|
Da die Sterne nicht auf perfekten Kreisbahnen um den Mittelpunkt der Galaxie |
|
|
|
fliegen muss in betracht gezogen werden wie die Sterne auf Elliptischen Bahnen |
|
|
|
orbitieren. Wichtigt ist dabei die Geschwindigkeit, diese muss zwischen der |
|
|
|
ersten Kosmischen Geschwindigkeit \( v_k \) und der zweiten Kosmischen |
|
|
|
Geschwindigkeit \( v_P \) liegen. Die beiden Kosmischen Geschwindigkeiten sind |
|
|
|
folgendermaßen definiert: |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{equation} |
|
|
|
v_{k1} = \sqrt{\frac{GM}{r}} |
|
|
|
\end{equation} |
|
|
|
\begin{equation} |
|
|
|
v_{k2} = \sqrt{\frac{2GM}{r}} |
|
|
|
\end{equation} |
|
|
|
|
|
|
|
Die Tatsache das die Sterne auf Elliptischen Bahnen unterwegs sind ist für die |
|
|
|
Berechnung irrelevant, da eh für jeden Zeitschritt \( t \) eine neue Kraft |
|
|
|
berechnet wird aus der eine Beschleunigung berechnet wird die wiederum die neue |
|
|
|
Position des Sternes ergibt. Hält man die Geschwindigkeit der Sterne somit im |
|
|
|
interval \( (v_{k1} ; v_{k2}) \), dann ergibt sich (in der Therorie) von |
|
|
|
alleine eine elliptische Bahn. |
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Entwicklung der nötigen Software} |
|
|
|
Die Software ist komplett in Golang geschrieben was die nutzung von mehreren |
|
|
|
Threads mithilfe von Go-Methoden stark vereinfacht. Um den Barnes-Hut |
|
|
|
Algorithmus anzuwenden muss die Galaxie in einen Octree unterteilt werden. |
|
|
|
Dabei wird eine Zelle definiert die alle Sterne beinhaltet welche anschließen |
|
|
|
solange unterteilt, bis eine der drei Endbedingungen eintrifft: \begin{itemize} |
|
|
|
\item Die Zelle enthält weniger als eine vordefinierte mindestmenge an |
|
|
|
Sternen \item Die Zelle ist kleiner als eine vordefinierte |
|
|
|
mindestgröße \item Es wurde eine maximale Anzahl an Unterteilungen vorgenommen |
|
|
|
\end{itemize} Ein wichtiger Aspekt ist jedoch auch, dass die Zellen rekursiv |
|
|
|
generiert werden. Kurzgesagt, die 'kinder'-Zellen dürfen müssen aus der |
|
|
|
Koordinates der 'Eltern'-Zellen generiert werden. Ist eine die übergeordnete |
|
|
|
Zell beispielweise definiert durch ihren Mittelpunkt \( m \) und die Maximale |
|
|
|
Breite \( b \) des Feldes, kann die Position der jeweiligen untergeordneten Zelle |
|
|
|
folgendermaßen berechnet werden: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\begin{equation} |
|
|
|
NW = \left( m \pm \frac{b}{2}, m \pm \frac{b}{2} \right) |
|
|
|
\end{equation} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\bigskip |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{center} |
|
|
|
\begin{tikzpicture} |
|
|
|
% First Layer |
|
|
|
\draw [line width=0.5mm] (0, 0) rectangle (6, 6); |
|
|
|
|
|
|
|
% Second Layer |
|
|
|
\draw [line width=0.25mm] (0, 0) rectangle (3, 3); |
|
|
|
\draw [line width=0.25mm] (3, 0) rectangle (6, 3) node[pos=0.5] { \( \delta \) }; |
|
|
|
\draw [line width=0.25mm] (0, 3) rectangle (3, 6) node[pos=0.5] { \( \alpha \) }; |
|
|
|
\draw [line width=0.25mm] (3, 3) rectangle (6, 6) node[pos=0.5] { \( \beta \) }; |
|
|
|
|
|
|
|
% Third Layer |
|
|
|
\draw [line width=0.125mm] (0, 0) rectangle (1.5, 1.5) node[pos=0.5] { \( \gamma \gamma \) }; |
|
|
|
\draw [line width=0.125mm] (1.5, 0) rectangle (3, 1.5) node[pos=0.5] { \( \gamma \delta \) }; |
|
|
|
\draw [line width=0.125mm] (0, 1.5) rectangle (1.5, 3) node[pos=0.5] { \( \gamma \alpha \) }; |
|
|
|
\draw [line width=0.125mm] (1.5, 1.5) rectangle (3, 3) node[pos=0.5] { \( \gamma \beta \) }; |
|
|
|
\end{tikzpicture} |
|
|
|
\end{center} |
|
|
|
|
|
|
|
Nehmen wir als Beispiel das Feld \( \gamma \beta \). |
|
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Barnes-Hut-simulation} |
|
|
|
Wie bereits beschrieben wird die Galaxie in Zellen unterteilt. Dabei kann, wenn |
|
|
|
eine Zelle weit genug von einem spezifischen Stern entfernt ist, die Zelle zu |
|
|
|
ihrem Massemittelpunkt vereinfacht werden. Der Massemittelpunkt kann wiefolgt |
|
|
|
berechnet werden: |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{equation} |
|
|
|
\left( \frac{ \sum_{i=0}^{n} x_i \cdot m_i }{ \sum_{i=0}^{n} m}, |
|
|
|
\frac{ \sum_{i=0}^{n} y_i \cdot m_i }{ \sum_{i=0}^{n} m } \right) |
|
|
|
\end{equation} |
|
|
|
|
|
|
|
Dabei wird die mithilfe ihrer Masse gewichtete Summe der Sterne durch die |
|
|
|
gesamt Masse geteilt um die geweilige Coordinaten-komponente zu erhalten. Dies |
|
|
|
muss für jede Zelle einmal getan werden und in der jeweiligen Zellen-struktur |
|
|
|
gespeichert werden wodurch am Ende jede Zelle die Koordinaten ihres |
|
|
|
Massemittelpunktes kennt. |
|
|
|
|
|
|
|
Der Barnes-Hut-Algorithmus verringert die Anzahl zu berechnenden Kräfte durch |
|
|
|
geeignetes Zusammenfassen von Teilchengruppen zu Pseudoteilchen |
|
|
|
\footnote{https://de.wikipedia.org/wiki/Barnes-Hut-Algorithmus}. |
|
|
|
|
|
|
|
Der um eine Abschätzung zu bekommen, wie gut es ist, die Sterne zu bündeln, |
|
|
|
muss darauf geachtet werden, das das Verhältnis vom Gruppendurchmesser \( d \) |
|
|
|
zum Radius \( r \) möglichst gering ist: |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{equation} \label{theta} \theta = \frac{d}{r} \end{equation} |
|
|
|
|
|
|
|
Die Datenstruktur die einen Barnes-Hut Baum speichert ist am besten wiefolgt |
|
|
|
definiert: |
|
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Datentypen} |
|
|
|
Um generell irgendwas zu tun muss in fast allen fällen etwas definiert werden. |
|
|
|
Zur Simulation von Galaxien brauchen wir voallem eine Methode, Sterne |
|
|
|
einheitlich zu definieren. Der unten definierte Vec2-typ kann einen Vektor oder |
|
|
|
eine Koordinate darstellen was ihn in der Anwendung zu einem praktischen |
|
|
|
Hilfsmittel macht. Er speichert die X und Y Komponente der jeweiligen Struktur |
|
|
|
die er darstellen soll als float64-typ. |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{lstlisting} |
|
|
|
type Vec2 struct { |
|
|
|
X float64 |
|
|
|
Y float64 |
|
|
|
} |
|
|
|
\end{lstlisting} |
|
|
|
|
|
|
|
Mithilfe des Vec2-typens kann ein Kompletter Stern definiert werden. Dabei wird |
|
|
|
ein Stern mithilfe seine Position \( C \), seiner Geschwindigkeit \( V \), und |
|
|
|
seiner Masse \( M \) beschrieben. |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{lstlisting} |
|
|
|
type Star2D struct { |
|
|
|
C Vec2 |
|
|
|
V Vec2 |
|
|
|
Mass float64 |
|
|
|
} |
|
|
|
\end{lstlisting} |
|
|
|
|
|
|
|
Um einen sogennanten quadtree bzw. octree aufzubauen wird erstmal eine |
|
|
|
Räumliche Begrenzung benötigt, die einem Raum beschriebt indem die Sterne |
|
|
|
enthalten sind oder nicht. Diese grenze ist als `Boundary` definiert, es wird |
|
|
|
dabei der Mittelpunkt der Begrenzung und die kürzeste Entfernung zwischen |
|
|
|
mittelpunkt und äußerer Begrenzung genutzt um den Raum zu definieren. |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{lstlisting} |
|
|
|
type Boundary struct { |
|
|
|
Center Vec2 |
|
|
|
HalfDimension float64 |
|
|
|
} |
|
|
|
\end{lstlisting} |
|
|
|
|
|
|
|
Der eigentliche QuadTree bzw. Octree beinhaltet einige Informationen: Die |
|
|
|
Anzahl in ihm enthaltene Sterne, die Räumliche ausbreitung, die eigentlichen |
|
|
|
Sterne als Star2D definiert und die RecursionTiefe als integer. Die Definition |
|
|
|
des QuadTrees der Unten zu sehen ist enthält Zeiger zu den Kindern des |
|
|
|
Quadtrees und ist somit rekusriv definiert was es einfach macht neue Kinder zu |
|
|
|
erstellen, da diese eine Kopie ihere Eltern mit einer anderen Begrenzung |
|
|
|
darstellen wodurch die in ihnen enthaltenen Sterne weniger werden. |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{lstlisting} |
|
|
|
type QuadTree struct { |
|
|
|
StarCount int |
|
|
|
Boundary Boundary |
|
|
|
Star []Vec2 |
|
|
|
|
|
|
|
NorthWest *QuadTree |
|
|
|
NorthEast *QuadTree |
|
|
|
SouthWest *QuadTree |
|
|
|
SouthEast *QuadTree |
|
|
|
|
|
|
|
ReccursionDepth int |
|
|
|
} |
|
|
|
\end{lstlisting} |
|
|
|
|
|
|
|
\paragraph{Idee:} |
|
|
|
Wenn man bei herrausfinden welcher Stern in welcher Zelle liegt jedem Stern |
|
|
|
eine Zellen-id zuweist, kann man wenn man die Kraft zwischen zwei sehr weit |
|
|
|
entfernten Sternen berechnen will direkt dazu übergehen, die Kraft zum |
|
|
|
Massemittelpunkt der Zelle indem der weit eintferne Stern liegt zu berechnen. |
|
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Runge-Kutta methods} |
|
|
|
Die Runge-Kutta Methode wird genutzt, um die Position eines objektes nach einer |
|
|
|
Beliebigen Zeit zu approximieren. Dabei kann, bei nutzung eines mglich kleinen |
|
|
|
Zeitschrittes, ein sehr genaues Ergebniss erzielt werden. In unserem Fall |
|
|
|
haben wir einen Stern auf den eine Kraft wirkt. Wir wollen die Position des |
|
|
|
Sternens nach einem Zeitschritt berechnen, jedoch auch eine andere Kraft |
|
|
|
miteinbringen um die Sterne auf eine Ellipische Bahn um die Mitte der Galaxie |
|
|
|
zu bringen. |
|
|
|
Die Geschwindigkeit die der Stern dabei annnimmt kann mit der fogenden Formel |
|
|
|
berechnet werden: |
|
|
|
|
|
|
|
\begin{equation} |
|
|
|
v = \sqrt{ar} |
|
|
|
\end{equation} |
|
|
|
|
|
|
|
\subsubsection{Goroutines} |
|
|
|
Die nutzung von mehreren sogennanten Go-Methoden ist unglaublich effektiv, da |
|
|
|
es die Zeit die gebraucht wird das Programm auszuführen drastisch verringert. |
|
|
|
Die implementation ist ebenfalls unglaublich einfach, es recht |
|
|
|
|
|
|
|
\section{Ergebnisse} |
|
|
|
Wie bewertest Du Deine Ergebnisse? Wie passt das zu dem, was Du über Dein Thema |
|
|
|
gelesen oder gehört hast? Was ist gut gelaufen im Projekt, was war schlecht, |
|
|
|
was könnte noch verbessert werden? Das simulieren von Galaxien ist komplett |
|
|
|
ohne optimierungen ein sehr rechenaufwendiger prozess, weshalb einer der |
|
|
|
wichtigsten aspekte des Projektes war, die effizienz zu erhöhen. |
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Das n-Körper Problem} |
|
|
|
Das N-Körper Problem ist blöd (aber notwendig D:) (Und es ermöglicht das ganze |
|
|
|
erst!) |
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Beschleunigung der Berechnung von Kräften} |
|
|
|
\( n^2 \rightarrow n \cdot log(n) \) |
|
|
|
iasd |
|
|
|
|
|
|
|
\subsection{Fazit} |
|
|
|
Welche Antwort kannst Du auf Deine Forschungsfrage geben? Hast Du Dein Ziel |
|
|
|
erreicht? Langsam, Ok, schneller, Schnell, Hyperspeed! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\section{Quellen und Literaturverzeichnis} |
|
|
|
|
|
|
|
THE INTERNET! |
|
|
|
|
|
|
|
\end{multicols*} |
|
|
|
|
|
|
|
\end{document} |
|
|
|
|
